2013-07-02, 06:05
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|  رد: جوتلوب و منطق الرياضيات الحديثة
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Friedrich Ludwig Gottlob Frege
Mathématicien et philosophe allemand, Il a créé la logique moderne et plus précisément le [calcul propositionnel moderne, le calcul des prédicats. Il a en outre créé une langue artificielle (notée au moyen des symboles logiques qui a inspiré toutes les logiques postérieures), il a formalisé entièrement la logique et en a fait par là un véritable calcul logique. Frege est né à Wismar en 1848, et fit ses études aux universités de Iéna et de Göttingen, où il obtint son doctorat de philosophie en 1873. De 1879 à 1917, il fut professeur à la faculté de philosophie d'Iéna. Ses travaux concernent notamment la logique mathématique et ses applications. Confronté a l'ambiguité du langage ordinaire et a l'imperfection des systémes logiques disponibles, il inventa de nombreuses notations symboliques, comme les quantificateurs et les variables, posant alors les bases de la logique mathématique moderne. Il est ainsi le premier a avoir présenté une théorie cohérente du calcul des prédicats et du calcul des propositions.
Il fut aussi le premier à faire dériver l'arithmétique de la logique. Il définit ainsi notamment la suite des nombres entiers à partir de l'ensemble vide, en appliquant quelques règles simples : 0 est le nombre d'éléments (défini comme une relation d'équivalence) de tous les ensembles équivalents à (en bijection avec) l'ensemble vide. 1 est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont le seul élément est 10. 2 est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalent à l'ensemble dont tous les éléments sont 0 et 1. En général, un nombre entier est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble des nombres entiers le précédent!
Dans sa logique, une expression complète est une expression signifiante, dénotant un objet :Les deux derniers types d'expression contiennent des fonctions, par exemple, dans le nom complexe « (2)2 », « ()2 » est la fonction, les parenthèses indiquant la place des arguments de la fonction. Sans ces arguments (de type simple ou complexe), la fonction est incomplète et s'appelle un concept.
L’objet « (2+2) » dénote le résultat de son application sur les arguments, à savoir « 4 » ; en revanche, les propositions (Frege écrit « concept ») dénotent des valeurs de vérité. Il y a deux valeurs de vérité :Dans cette conception, une prédication s'analyse comme une fonction. Un prédicat est donc une fonction d'une ou plusieurs variables que ses arguments divisent en vrai ou en faux. La proposition : « Le soleil brille » signifie que l'objet dénoté par Le soleil tombe sous le concept signifié par brille. Le concept est noté B( ) ; Le soleil brille est noté B(s). Il y a également des fonctions à deux, trois, quatre… arguments : on note F(( ),( )), une fonction à deux arguments. Selon Frege, d'une part, la pensée est inséparable du langage, qui permet à l'attention de se libérer de l'immédiateté par des éléments sensibles, les signes; le langage libère la pensée comme la technique de navigation contre le vent libère du vent par le vent. Mais, d'autre part, les langages ordinaires pèchent par équivocité des signes, et aussi par le fait qu'ils ne sont pas calqués sur les lois de la pensée, mais plutôt sur la psychologie humaine. L'écriture constitue une étape importante dans la libération de la pensée rigoureuse; elle permet de s'appuyer sur des signes constants, et aussi de rapporter librement l'énoncé aux lois de la logique. Dans ces conditions, la première tâche de la logique sera d'édifier un langage logique aussi rigoureux que possible, où toute lacune dans l'exposé des raisons sera aperçue d'un coup d'œil. Frege a développé une conception du langage à la suite de ses recherches logiques.
Frege distingue sens et dénotation ; la dénotation est l'objet auquel on fait référence, le sens est le mode de donation de la dénotation. Exemple :Cette distinction, qui sera rejetée par Russell, a pour objet d'expliquer qu'une formule comme a=b ait une utilité, c'est-à-dire qu'elle ne se réduit pas à a=a. Nous apprenons par cette formule que deux concepts distincts renvoient à un seul et même objet. En effet le concept se dit d'un objet, mais ne se confond pas avec lui. Le cheval est en fait un certain objet que nous dénotons par sa propriété d'être un certain cheval. Il y a un cheval veut dire qu'il existe un x (objet dénoté), tel qu'il est un cheval (concept signifié). En effet, le langage désigne le plus souvent moins chaque objet par un nom propre que par une catégorie commune à plusieurs objets.
Notons que Frege explique qu'il ne faut pas psychologiser cette distinction. Le sens n'est nullement la représentation subjective que chacun introduit sous le concept. Il est rigoureux et universel. L'expression "2+2" a la même dénotation que "3+1", mais non le même sens. Elle ne renvoie pourtant en rien à quelque image subjective. |
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